Cos'è teorema spettrale?

Il teorema spettrale è un risultato fondamentale nella teoria degli operatori lineari e nella matematica applicata. Esso stabilisce che ogni operatore autoaggiunto (o unitario) in uno spazio di Hilbert ha una decomposizione spettrale.

La decomposizione spettrale consiste nella rappresentazione dell'operatore come una somma di proiezioni ortogonali sugli autovalori dell'operatore. Questo significa che un operatore autoaggiunto può essere scritto come una combinazione lineare di operatori di proiezione, ognuno dei quali è associato a un autovalore dell'operatore.

Il teorema spettrale afferma anche che queste proiezioni possono essere ottenute tramite una funzione chiamata "risolvente". La risolvente è una funzione che associa a ogni punto nel piano complesso un operatore, e viene utilizzata per ottenere gli autovalori e gli autovettori dell'operatore.

Un'applicazione importante del teorema spettrale è nell'analisi degli operatori differenziali agli autovalori. Ad esempio, nel contesto dell'equazione di Schrödinger, il teorema spettrale permette di ottenere gli autovalori e gli autovettori dell'operatore hamiltoniano, che rappresenta l'energia di un sistema quantistico.

Inoltre, il teorema spettrale è utilizzato come base per lo sviluppo della teoria degli operatori autoaggiunti, che è fondamentale in diverse branche della matematica, come l'analisi funzionale, la teoria dei sistemi dinamici e la meccanica quantistica.